Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

Introdução
Podemos dizer que a Teoria da Bifurcação é o estudo de equações com
múltiplas soluções. Especificamente, por uma bifurcação queremos dizer uma
mudança no número de soluções de uma equação quando um parâmetro varia.
Muitos desses problemas podem ser simplificados para o estudo de como as
soluções x de uma simples equação escalar
f(x, λ) = 0 (1)
varia com o parâmetro λ. Essa simplificação depende de uma técnica conhecida
como Redução de Liapunov-Schmidt.
Certos fenômenos modelados por uma equação diferencial da forma
dx
dt
= F (x, λ), (2)
que depende de um parâmetro λ, evoluem para o surgimento de uma órbita
(solução) periódica quando o parâmetro varia. Esse tipo de comportamento é
conhecido como Bifurcação de Hopf.
O intuito desse trabalho é mostrar que as órbitas periódicas da equação
diferencial (2) podem ser caracterizadas como zeros de uma certa aplicação do
tipo (1) e a partir dai entender a Bifurcação de Hopf.
O trabalho está dividido em quatro capítulos: (1) Primeira visão da Redução
de Liapunov-Schmidt em dimensão finita, (2) Redução de Liapunov-Schmidt
em dimensão infinita, (3) Aplicação da Redução em para entender a Elástica,
e (4) Aplicação da Redução provando o Teorema de Hopf.
No primeiro capítulo introduziremos a técnica da Redução e consideraremos
o problema de bifurcação em dimensão n
Φ(x, α) = 0, com x ∈ R n e α ∈ R k
(3)