Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A ELÁSTICA: UM EXEMPLO DE DIMENSÃO INFINITA 36
é o complemento ortogonal de R{cos} em X com respeito ao produto interno
〈u, v〉 =
π
Do mesmo modo, decompomos Y na seguinte soma direta
onde N = (Im(L)) ⊥ .
0
u(ξ)v(ξ)dξ. (3.17)
Y = N ⊕ Im(L), (3.18)
A próxima proposição dará uma expressão equivalente para o espaço com-
plementar N anterior.
Proposição 3.2. (Im(L)) ⊥ = Nuc(L ∗ ).
Demonstração da proposição 3.2: Observamos que v ∈ Nuc(L ∗ ) se, e
somente se, L ∗ v = 0. Mas L ∗ v = 0 se, e somente se, 〈u, L ∗ v〉 = 0 para todo
u ∈ Im(L). Pela definição de operador adjunto temos que 〈u, L ∗ v〉 = 0 para
todo u ∈ Im(L) se, e somente se, 〈Lu, v〉 = 0 para todo v ∈ Im(L), ou seja,
v ∈ (Im(L)) ⊥ .
Proposição 3.3. L é auto-adjunta, isto é, 〈Lu, v〉 = 〈u, Lv〉 para todo u, v.
Portanto vale a seguinte expressão:
N = Nuc(L ∗ ) = Nuc(L) = R{cos}. (3.19)
Demonstração Usando (3.14), para provar que 〈Lu, v〉 = 〈u, Lv〉, basta
demonstrar a igualdade
π
0
π
0
[u ′′ (ξ) + λu(ξ)]v(ξ)dξ =
π
0
[v ′′ (ξ) + λv(ξ)]u(ξ)dξ, ou seja,
u ′′ π
π
(ξ)v(ξ)dξ + λ u(ξ)v(ξ)dξ = u(ξ)v
0
0
′′ π
(ξ)dξ + λ u(ξ)v(ξ)dξ.
0
Resta então verificarmos que
π
0
u ′′ (ξ)v(ξ)dξ =
π
0
u(ξ)v ′′ (ξ)dξ. (3.20)