Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A REDUÇÃO DE LIAPUNOV-SCHMIDT 26
Aplicando no ponto (0,0) temos
E[D 2 xΦ(0, 0)(vj + DvW (0, 0)), (vi + DvW (0, 0)(vi)) +
DxΦ(0, 0)(D 2 vW (0, 0)(vi, vj))] = 0.
Usando (a) e o fato que EL = L temos
e portanto
E[D 2 xΦ(0, 0)(vj, vi)] + L(D 2 vW (0, 0)(vi, vj)) = 0,
L(D 2 vW (0, 0)(vi, vj)) = −E[D 2 xΦ(0, 0)(vj, vi)].
Aplicando L −1 em ambos os lados segue que
D 2 vW (0, 0)(vi, vj) = −L −1 E[D 2 xΦ(0, 0)(vj, vi)]
para todo vj, vi ∈ Nuc(L), e finalmente
D 2 vW (0, 0) = −L −1 ED 2 xΦ(0, 0).
(c) Derivando a equação (2.14) com respeito a xj temos
∂gi
∂xj
(x, α) = 〈v ∗ i , DxΦ(v + W (v, α), α).(vj + DvW (v, α))(vj)〉, (2.17)
pois DαW (v, α) = 0. Aplicando então no ponto (0, 0) temos
∂gi
∂xj
(0, 0) = 〈v ∗ i , L(vj + DvW (0, 0)(vj)〉
e como v ∗ i ∈ N = (Im(L)) ⊥ , segue que ∂gi
(0, 0) = 0.
∂xj
(d) Derivando a equação (2.17) com respeito a xk temos
∂ 2 gi
∂xk∂xj
(x, α) = 〈v ∗ i , D 2 xΦ(v + W (v, α), α)(vk + DvW (v, α)(vk), vj+
DvW (v, α))(vj) + DxΦ(v + W (v, α), α)(D 2 vW (v, α))(vj, vk)〉.
(2.18)