Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 70
um ângulo θ tal que θ(s, 0) = (x, y), onde s 2 = x 2 + y 2 . Disso segue que
φ(x, y) = φ(θ(s, 0)) = θφ(s, 0)
Logo,
= θ(p(s 2 )s, q(s 2 )s)
=
=
= p(s 2 )
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
p(s 2 )s
q(s 2 )s
p(s 2 )s
0
s
0
+
+ q(s 2 )
= p(x 2 + y 2 )[θ(s, 0)] + q(x 2 + y 2 )[θ(0, s)].
Sabemos que π
(s, 0) = (0, s), e temos também que
2
Com isso, temos que
φ(x, y) = p(x 2 + y 2 )
π π
θ(s, 0) = θ (s, 0) = θ(0, s)
2 2
θ(0, s) = π
(x, y) = (−y, x).
2
x
y
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
+ q(x 2 + y 2 )
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
−y
x
0
q(s 2 )s
0
s
. (4.48)
Isso conclui a demonstração da afirmação, e portanto (4.46) do lema 4.8 está
demonstrado, a menos de parâmetros auxiliares.
Para concluir a demonstração do lema, basta verificamos agora (4.47) u-
sando as fórmulas da proposição 2.7 para as derivadas da função reduzida. Na
seqüência, realizamos o passo 5 da Redução de Liapunov-Schmidt. Especifica-
mente, para j = 1, 2, seja
φj(x, y, α, τ) = 〈v ∗ j , φ(xv1 + yv2, α, τ)〉. (4.49)