Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 69
(a) p(0, 0, 0) = 0, (b) q(0, 0, 0) = 0,
(c) ∂p
∂τ
∂q
(0, 0, τ) = 0 (d) (0, 0, τ) = −1.
∂τ
(4.47)
Demonstração: Para a demonstração deste lema, necessitamos provar
inicialmente a seguinte afirmação.
Afirmação: Seja φ : R 2 → R 2 uma aplicação diferenciável que comuta com a
ação (4.23). Então existem funções diferenciáveis p(z), q(z) de uma variável
real, tais que
φ(x, y) = p(x 2 + y 2 )
De fato, escrevemos φ da seguinte forma
x
y
+ q(x 2 + y 2 )
φ(x, y) = (φ1(x, y), φ2(x, y)).
Sabemos que φ comuta com qualquer θ ∈ S 1 , em particular comuta com θ = π.
Sendo π(x, y) = (−x, −y), temos que
Logo, se x = 0 e y = 0, então
φ(−x, −y) = (−φ1(x, y), −φ2(x, y)).
φj(−s, 0) = −φj(s, 0), j = 1, 2.
Em outras palavras, cada componente φj(s, 0) é uma função ímpar na variável
s. Sendo assim, podemos escrever
para funções diferenciáveis p e q.
−y
φ1(s, 0) = p(s 2 )s; φ2(s, 0)s = q(s 2 )s,
De modo geral, para qualquer ponto (x, y) do plano, podemos encontrar
x
.