Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

OPERADORES DIFERENCIAIS ELÍPTICOS 79
renciável e sejam
(a) X = {u ∈ C 2 (Ω) : u = 0 sobre ∂Ω},
(b) Y = C 0 (Ω).
Então o operador (A.2) entre os espaços (A.3) é Fredholm de índice zero.
(A.3)
Esse resultado é provado em Berger [B77]. Para as aplicações que foram
feitas neste trabalho, basta a seguinte versão simplificada da proposição acima.
Proposição A.2. Considerando
X = {u ∈ C 1 ([0, b], R k ) : u(0) = u(b)},
Y = {u ∈ C 0 ([0, b], R k ) : u(0) = u(b)} e
Lu = u ′ + Au
onde A é uma matriz k × k constante, então L : X → Y é um operador
Fredholm de índice zero.
Demonstração: Para a demonstração, observe inicialmente que Nuc(L) é
o subespaço de X formado pelas soluções de uma EDO linear, e portanto pela
teoria clássica de equações diferenciais temos que Nuc(L) possui dimensão
finita. Por outro lado, pela afirmação 1 da página 55, temos que o operador
adjunto de L é dado por L ∗ w = −w ′ + A t w. Pelo mesmo motivo temos que a
dimensão de Nuc(L ∗ ) é finita. Utilizando agora o fato que
(Im(L)) ⊥ = Nuc(L ∗ )
segue que a codimensão de Im(L) é finita. O fato de A e A t possuir os mesmos
autovalores implica que a dimensão de Nuc(L) e dimensão de Nuc(L ∗ ) são
iguais, ou seja, o índice é zero. Resta apenas provar que Im(L) é um subespaço
fechado em Y. Para isso fazemos M = (Im(L)) ⊥ no teorema abaixo. Isso é
possível pois Nuc(L ∗ ) tem dimensão finita, logo é fechado, ou seja, M é fechado
e também Im(L) ⊕ (Im(L)) ⊥ = Y.
Teorema A.3. Sejam X e Y espaços de Banach e T : X → Y um operador
linear com graf(T ) fechado em X × Y. Se existe um subespaço fechado M de
Y tal que Im(T ) ∩ M = {0} e Im(T ) ⊕ M é fechado em Y, então Im(T ) é
fechado em Y.
A demonstração desse teorema encontra-se em [TL80], página 217.