Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 71
assim,
Então, de (4.48) temos
(a) φ1(x, 0, α, τ) = p(x 2 , α, τ)x (4.50)
(b) φ2(x, 0, α, τ) = q(x 2 , α, τ)x, (4.51)
p(0, 0, 0) = ∂φ1
(0, 0, 0, 0),
∂x
q(0, 0, 0) = ∂φ2
(0, 0, 0, 0),
∂x
e usando o item (a) da proposição 2.7, concluímos que
Também de (4.50) e (4.51) temos que
p(0, 0, 0) = q(0, 0, 0) = 0.
∂p
∂τ (0, 0, τ) = ∂2φ1 (0, 0, 0, τ),
∂x∂τ
∂q
∂τ (0, 0, τ) = ∂2φ2 (0, 0, 0, τ),
∂x∂τ
pelo item (g) da proposição 2.7, sabemos que
∂ 2 φj
∂x∂τ = 〈v∗ j , d(Φτ)v1 − d 2 Φ(v1, L −1 EΦτ)〉 (4.52)
onde Φτ = ∂Φ
. Mas de (4.19), segue que
∂τ
∂Φ du
(u, α, τ) =
∂τ ds .
E é trivial que ∂Φ
(0, α, τ) = 0, então o segundo termo em (4.52) desaparece.
∂τ
Para o primeiro termo temos
Φτ(0 + tv1, 0, τ) − Φτ(0, 0, τ)
d(Φτ)v1 = lim
t→0
t
= lim
t→0
d(tv1)
ds
t
t
= lim
t→0
dv1
ds
t
= dv1
ds .