Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 57
e seja
v ∗ 1(s) = Re(e is d), v ∗ 2(s) = Im(e is d). (4.36)
Então, com cálculos análogos aos feitos no item (a), concluímos que
{v ∗ 1, v ∗ 2} é base para Nuc(L ∗ ).
com a seguinte afirmação.
É de nosso interesse normalizar d de acordo
Afirmação 3: O autovetor d pode ser escolhido tal que
(a) d t c = 2, (b) d t c = 0. (4.37)
De fato, seja a um autovetor qualquer de A t 0. Temos que A t 0a = µa.
Então
−ia t c = a t (A0c) = [A t 0a] t c = µa t c (4.38)
Assim a t c = 0 se µ = −i. Em particular segue (4.37b). Queremos que
d t c = 0. Suponhamos, por contradição que d t c = 0. Então c é ortogonal
para todo autovetor de A t 0. Por hipótese, c é ortogonal a d, o qual é
autovetor de A t 0 associado ao autovetor −i, por (4.38) c é ortogonal a
todos os outros. Isso nos diz que c = 0, o que é um absurdo! Logo
d t c = 0 e podemos normalizar d de modo que d t c = 2. Isso conclui a
prova da afirmação 3.
Com essa normalização para d, temos as seguintes fórmulas para os pro-
dutos internos entre vj e v∗ k , com j, k = 1, 2.
(a) 〈v ∗ j , v ∗ k〉 = dt dδjk
2
,
(b) 〈v ∗ j , vk〉 = δjk, (4.39)
(c) 〈vj, vk〉 = δjk.
onde δij = 1, se i = j, e δij = 0, se j = i.
Para tais cálculos usamos as seguintes relações trigonométricas:
(i) sen 2 x + cos 2 x = 1.
(ii) cos(2x) = cos 2 x − sen 2 x.
(iii) sen(2x) = 2sen(x)cos(x).
(iv) 2sen 2 x = 1 − cos(2x).