Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

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PRIMEIRA VISÃO DA REDUÇÃO DE LIAPUNOV-SCHMIDT 18 g(x, α) = 〈v ∗ 0, φ(xv0, α)〉. (1.9) Do fato de φ(xv0, α) ∈ N, temos que g(x, α) = 0 se, e somente se, φ(xv0, α) = 0, pois φ(xv0, α) ∈ [N ∩ N ⊥ ] = {0}. Logo, os zeros de g estão em correspondência biunívoca com as soluções de Φ(y, α) = 0. A razão para essa simplificação é que v ∗ 0 ∈ (Im(L)) ⊥ e para qualquer vetor v ∈ R n , temos que Ev ∈ Im(L), ou seja 〈v ∗ 0, Ev〉 = 0. Daí temos 〈v ∗ 0, (I − E)v〉 = 〈v ∗ 0, v〉 (1.10) pois (I − E)v ∈ (Im(L)) ⊥ , pela definição da projeção (I − E). 1.2 Breve Resumo da Redução de Liapunov- Schmidt Nesta subseção vamos citar, brevemente, os cinco passos essenciais para chegarmos na equação reduzida (1.9): Passo 1. Decompomos o espaço, no caso o R n , em uma soma direta dependendo de L(eq.(1.4) e eq.(1.5)). Passo 2. Usamos tal decomposição para definirmos as projeções E e (I−E), donde chegamos nas equações (1.6). Passo 3. Mostramos que (1.6a) pode ser resolvida, exceto para uma variável, u- sando o Teorema da Função Implícita. Passo 4. Substituímos a solução de (1.6a) em (1.6b) para obtermos a equação (1.8). Passo 5. Escolhemos bases convenientes para Nuc(L) e para (Im(L)) ⊥ e obtemos a equação reduzida (1.9). A essência da Redução de Liapunov-Schmidt, é mostrar que podemos usar o Teorema da Função Implícita em situações onde sua aplicação não é direta,
PRIMEIRA VISÃO DA REDUÇÃO DE LIAPUNOV-SCHMIDT 19 como por exemplo em espaços de Hilbert de dimensão infinita, que abordare- mos nos capítulos seguintes. Desse modo, o Passo 3 torna-se o passo funda- mental na Redução.
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