Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A REDUÇÃO DE LIAPUNOV-SCHMIDT 27
Assim,
∂ 2 gi
∂xk∂xj
(0, 0) = 〈v ∗ i , D 2 xΦ(0, 0)(vk + DvW (0, 0)(vk), vj +
+ DvW (0, 0)(vj)) + L(D 2 vW (0, 0)(vj, vk))〉
= 〈v ∗ i , D 2 xΦ(0, 0)(vk + DvW (0, 0)(vk), vj + DvW (0, 0)(vj))〉 +
+ 〈v ∗ i , L(D 2 vW (0, 0)(vj, vk))〉.
(2.19)
Como v ∗ i ∈ N, temos que o segundo produto interno é nulo, restando
então
∂ 2 gi
∂xk∂xj
(0, 0) = 〈v ∗ i , D 2 xΦ(0, 0)(vk + DvW (0, 0)(vk), vj + DvW (0, 0)(vj))〉,
mas como W (0, 0) = 0, segue que
∂ 2 gi
∂xk∂xj
(e) Derivando (2.18) em relação a x temos
∂ 3 gi
∂xl∂xk∂xj
(0, 0) = 〈v ∗ i , D 2 xΦ(0, 0)(vk, vj)〉.
(x, α) = 〈v ∗ i , D 3 xΦ(v + W (v, α), α)[vl + DvW (v, α)(vl), vk
+ DvW (v, α)(vk), vj + DvW (v, α)(vj)] + D 2 xΦ(v + W (v, α), α)[D 2 vW (v, α)
(vk, vl), vj + DvW (v, α)(vj)] + D 2 xΦ(v + W (v, α), α)[vk + DvW (v, α)(vk),
D 2 vW (v, α)(vl, vj)] + D 2 xΦ(v + W (v, α), α)[vl + DvW (v, α)(vl), D 2 vW (v, α)
(vj, vk)] + DxΦ(v + W (v, α), α)[D 3 vW (v, α)(vj, vk, vl)].
(2.20)