Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 50
periódicas de (4.14). Notemos que,
Φ(0, α, τ) ≡ 0 ∀ α, τ. (4.20)
Uma importante e indispensável observação é que o grupo S 1 atua sobre
C2π, através da ação mudança de fase.
Definição 4.1. Sejam X um espaço topológico e G um grupo. Dizemos que G
atua em X se existe uma aplicação contínua
tal que θ(g, x) = gx.
θ : G × X → X
Exemplo 4.2. Sejam X = R 2 , (x, y) ∈ X e G o grupo das matrizes de rotação
do R 2 , isto é,
G =
Então, temos que
θ
x
y
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
=
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
; θ ∈ [0, 2π)
Isto é, a ação θ rotaciona o ponto (x, y) em θ graus no sentido anti-horário.
Como na figura 4.4.
x,y)
(x,y)
Figura 4.4: Ação de S 1 em R 2 .
Vamos definir a ação que será útil na análise das simetrias das órbitas
periódicas.
x
y
.
.