Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 55
Assim, com cálculos análogos para θv2(s) concluímos que
θv1(s) = cos(θ)v1(s) + sen(θ)v2(s),
θv2(s) = −sen(θ)v1(s) + cos(θ)v2(s).
Para descobrirmos como θ age em R 2 , aplicamos θ no vetor
θ
x
y
= θ(xv1(s) + yv2(s))
= x(θv1)(s) + y(θv2)(s)
= x[v1(s)cos(θ) + v2(s)sen(θ)] + y[−v1(s)sen(θ) + v2(s)cos(θ)]
= v1(s)[xcos(θ) − ysen(θ)] + v2(s)[xsen(θ) + ycos(θ)]
=
cos(θ)
sen(θ)
−sen(θ)
cos(θ)
x
y
.
(c) Primeiramente vamos construir uma base para Nuc(L ∗ ), onde L ∗ é o
operador adjunto com respeito ao produto interno
Afirmação 1: L ∗ é dado por
De fato, sendo Lu = u ′ + A0u, temos
Notemos agora que
〈u, v〉 = 1
2π
v(s)
2π 0
tu(s)ds. (4.30)
L ∗ w = − dw
ds + At 0w. (4.31)
〈Lu, w〉 = 〈u ′ + A0u, w〉 = 〈u ′ , w〉 + 〈A0u, w〉. (4.32)
〈u ′ , w〉 = 1 2π
0 2π
w(s)t.u
′ (s)ds = 1
2π w(s)t.u(s)|
2π
0
(∗)
− 1 2π
0 2π
w′ (s) t
.u(s)ds = −〈w ′ , u〉.
x
y
.
(4.33)