Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A ELÁSTICA: UM EXEMPLO DE DIMENSÃO INFINITA 33
∂G
∂u
− d
dξ
∂G
∂u ′
= 0 (3.8)
Assim, substituindo G na equação de Euler-Lagrange, considerando que
α é necessariamente um múltiplo de λ, obtemos a equação que governa o
comportamento da barra:
com condições de contorno
− d2u − λ sen u = 0; (3.9)
dξ2 u ′ (0) = u ′ (π) = 0
onde λ é a força compressiva aplicada na barra.
Nossa meta neste capítulo é mostrar que:
(i) a solução de (3.9) é isolada para 0 < λ < 1;
(ii) para λ = 1 a equação (3.9) tem outras soluções além da trivial;
Aplicando o método de Redução de Liapunov-Schmidt em (3.9) chegamos a
uma única equação real g(x, λ) = 0, a qual no ponto de bifurcação x = 0, λ = 1
satisfaz
g = ∂g
∂x = ∂2g ∂g
=
∂x2 ∂λ = 0, ∂3g ∂x3 > 0 e ∂2g < 0. (3.10)
∂λ∂x
Todos os cálculos serão feitos adiante.
3.2 Análise do problema para 0 < λ < 1
Primeiramente escrevemos (3.9) na forma “abstrata”
Φ(u, λ) = 0, (3.11)
onde Φ : X × R −→ Y é uma aplicação entre espaços de Banach. Seu domínio
é
X = {u ∈ C 2 [0, π] : u ′ (0) = u ′ (π) = 0},
onde C 2 [0, π] é o espaço das funções reais contínuas, tendo como domínio o
intervalo [0, π] e com derivadas até segunda ordem contínuas, e Y = C 0 [0, π] o