Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A REDUÇÃO DE LIAPUNOV-SCHMIDT 29
o resultado
∂gi
∂αl
(0, 0) = 〈v ∗ i , DαlΦ(0, 0)〉.
(g) Derivando a equação (2.23) com respeito a xj segue que
∂ 2 gi
∂xj∂αl
(x, α) = 〈v ∗ i , D 2 xΦ(v + W (v, α), α)(vj
+ DvW (v, α)(vj), Dαl W (v, α)) + DxΦ(v + W (v, α), α)
(DvDαl W (v, α)(vj)) + DxDαl Φ(v + W (v, α), α)(vj + DvW (v, α)(vj))〉.
Na origem
∂ 2 gi
∂xj∂αl
(0, 0) = 〈v∗ i , D2 xΦ(0, 0)(vj + DvW (0, 0)(vj), DαlW (0, 0) +
+ L(DvDαl W (0, 0)(vj)) + DxDαl Φ(0, 0)(vj + DvW (0, 0)(vj))〉.
(2.26)
Segue de (a) que
∂ 2 gi
∂xj∂αl
(0, 0) = 〈v∗ i , D2 xΦ(0, 0)(vj, DαlW (0, 0))
+ L(DvDαl W (0, 0)(vj)) + DxDα1Φ(0, 0)(vj)〉.
Portanto, usando (b) e o fato que vi ∈ (Im(L)) ⊥ temos
∂ 2 gi
∂xj∂αl
(2.27)
(0, 0) = 〈v ∗ i , D 2 xΦ(0, 0)(vj, −L −1 E(DαlΦ(0, 0))+ DxDαlΦ(0, 0)(vj)〉
concluindo finalmente a demonstração da proposição 2.7.