Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A REDUÇÃO DE LIAPUNOV-SCHMIDT 25
(f) ∂gi
(0, 0) = 〈v
∂αl
∗ i , DαlΦ(0, 0)〉.
(g)
∂ 2 gi
∂xj∂αi
(0, 0) = 〈v ∗ i , D 2 xΦ(0, 0)(vj, −L −1 E(Dα1Φ(0, 0)) + DxDα1Φ(0, 0)(vj)〉.
Para nossos cálculos, vamos lembrar como é a função reduzida
g : B ⊂ R n × R k+1 −→ R n , que tem a i-ésima coordenada dada por:
Aplicando a definição de φ segue que
gi(x, α) = 〈v ∗ i , φ(x1v1 + . . . + xnvn, α)〉 (2.12)
gi(x, α) = 〈v ∗ i , (I −E)Φ(x1v1 +. . .+xnvn +W (x1v1 +. . .+xnvn, α), α)〉 (2.13)
Como Im(φ) ⊂ N, então (I − E)Φ(x1v1 + . . . + xnvn + W (x1v1 + . . . +
xnvn, α), α) = Φ(x1v1 + . . . + xnvn + W (x1v1 + . . . + xnvn, α), α), isso se deve
a definição da projeção (I − E). Logo, ficamos com
gi(x, α) = 〈v ∗ i , Φ(x1v1 + . . . + xnvn + W (x1v1 + . . . + xnvn, α), α)〉, (2.14)
onde v = x1v1 + . . . + xnvn e x = (x1, . . . , xn).
Demonstração da proposição 2.7 :
(a) O resultado segue do Teorema da Função Implícita, pois ∂F
∂v
(2.10).
(b) Sabemos que
= 0 em
EΦ(v + W (v, α), α) = 0. (2.15)
Derivando (2.15) com respeito a v e aplicando em vi ∈ Nuc(L) obtemos
EDxΦ(v + W (v, α), α)(vi + DvW (v, α)(vi)) = 0. (2.16)
Derivando (2.16) novamente com respeito a v e aplicando em vj temos
E[D 2 xΦ(v + W (v, α), α)(vj + DvW (v, α)), (vi + DvW (v, α)(vi)) +
DxΦ(v + W (v, α), α)(D 2 vW (v, α)(vi, vj))] = 0.