Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A ELÁSTICA: UM EXEMPLO DE DIMENSÃO INFINITA 39
Antes de resolvermos a integral acima, observemos que
Assim,
cos (2x) = cos 2 x − [1 − cos 2 x]
cos (2x) = cos 2 x − 1 + cos 2 x
cos 2 x =
cos (2x) + 1
.
2
π
− cos
0
2 π π
1 1
ξdξ = − dξ − cos(2ξ)dξ,
0 2 2 0
fazendo a substituição u = 2ξ e du = 2dξ temos
π
− cos
0
2 ξdξ = − π
2π
1
− cos udu = −
2 4 0
π 1
−
2 4
Agora substituindo (3.26) em (3.25b) resulta que
∂3g ∂x3 = 〈cos, cos3 π
〉 = cos
0
4 ξdξ.
Antes dos cálculos da integral acima, notemos que:
cos 4
cos (2ξ) + 1 cos (2ξ) + 1
ξ =
2
2
Desse modo,
π
0
cos 4 ξdξ = 1
4
π
0
2π π
sen u| 0 = −
2
< 0.
= 1 2
cos (2ξ) + 2cos(2ξ) + 1 .
4
[cos 2 (2ξ) + 2cos(2ξ) + 1]dξ =
= 1
π
cos
4 0
2 π
π
(2ξ)dξ + 2 cos(2ξ)dξ + dξ
0
0
= 1
4
π
+ 0 + π =
2 π π
+
8 4
= 3π
8
> 0.
3.5 Análise das soluções da função reduzida g
A expansão de Taylor da função g numa vizinhança de (x, λ) = (0, 1) é