Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

Apêndice B
Resultados e Conceitos Básicos.
Neste Capítulo vamos apenas enunciar alguns conceitos fundamentais da Análise
e
Álgebra Linear. Tais conceitos são de extrema importância para o de-
senvolver desta dissertação tais como o Teorema da Função Implícita e as
definições de Espaços de Banach e de Hilbert.
Teorema B.1 (Teorema da Função Implícita). Sejam D ⊂ R n+m um
aberto, f : D −→ R m uma aplicação de classe C 1 , e (p0, q0) ∈ D, com
f(p0, q0) = 0; se a matriz ∂f
∂q (p0,
∂f
q0) = (p0, q0) é não-singular, então
∂xn+j
existem abertos V ⊂ R n contendo p0 e W ⊂ R m contendo q0, tal que para cada
p ∈ V , existe um único φ(p) ∈ W com f(p, φ(p)) = 0. A função φ : V −→ W
é de classe C 1 e
Jφ(p) =
−1 ∂f
(p, φ(p))
∂q
· ∂f
(p, φ(p)), ∀p ∈ V.
∂p
Definição B.2 (Espaço de Banach). Um Espaço de Banach é um espaço
vetorial normado (E, || · ||) que é completo com respeito à métrica d induzida
por sua norma, ou seja, d(v, w) := ||v − w||.
Definição B.3 (Espaço de Hilbert). Um Espaço de Hilbert é um espaço
vetorial com um produto interno (H, < ·, · >), que é completo com a métrica
d induzida pelo produto interno, ou seja, d(v, w) = √ < v − w, v − w >.