Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 74
Nosso objetivo é provar o primeiro Teorema de Hopf, que dá condições sufi-
cientes para existência de um família de órbitas periódicas. Com objetivo de
tornar a notação mais enxuta, a partir desse momento vamos considerar k = 0,
ou seja, α = λ.
Assim nosso objetivo é encontrar soluções periódicas para
du
dt
+ F (u, λ) = 0. (4.60)
Teorema 4.9 (Teorema de Hopf). Seja o sistema de EDO’s (4.60) tal que
as seguintes hipóteses são satisfeitas:
(H1) A condição de autovalores simples (4.2),
(H2) A condição (4.4).
Então existe uma família a um-parâmetro de órbitas periódicas de (4.60) bi-
furcando da solução trivial u = 0 em λ = 0.
Demonstração: O teorema 4.5 nos diz que podemos encontrar órbitas periódicas
de (4.14) resolvendo equação
g(x, λ) = 0. (4.61)
O teorema 4.5 também garante que g(x, λ) = r(x 2 , λ)x para alguma função
r. Sabemos porém que, encontrar soluções não-triviais de (4.61) se resume a
resolver
r(x 2 , λ) = 0.
Expandindo a função r em série de Taylor, numa vizinhança do (0, 0) temos
r(x 2 , λ) = r(0, 0) + ∂r
∂z (0, 0)x2 + ∂r
∂λ (0, 0)λ + o(x2 , λ), (4.62)
sendo r(0, 0) = 0 pelo teorema 4.5.
Lema 4.10. ∂r ∂σ
(0, 0) = (0, 0).
∂λ ∂λ
Demonstração do Lema: De acordo com (4.57) temos que
r(z, α) = p(z, α, τ(z, α)).