Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A ELÁSTICA: UM EXEMPLO DE DIMENSÃO INFINITA 32
0
1
u( )
2
i
x i
i
x( )
y
i
n
Figura 3.2: Coordenadas na elástica.
Utilizando a hipótese de Reiss, a energia U da barra é determinada apenas
pela sua curvatura κ = du,
através da relação:
dξ
π
U =
0
=
κ 2 dξ (3.4)
Pode-se então determinar a equação que estabelece a configuração de equi-
líbrio da barra em função da força λ minimizando a energia do sistema, ou
seja, minimizando o funcional:
U(ξ) =
π
0
2 du
dξ (3.5)
dξ
O processo de minimização deve ser realizado mantendo-se as extremidades
da região curva da barra constantes, portanto deve-se inserir o seguinte vínculo:
π
0
cos(u)dξ = cte (3.6)
Utilizando a técnica dos multiplicadores indeterminados de Lagrange, obtém-
se a relação que determina a configuração da barra no estado de equilíbrio:
π
δ
0
du
dξ
2
onde α é um multiplicador de Lagrange.
+ αcos(u)
dξ = 0 (3.7)
Sabe-se do cálculo de variações que a relação (3.7) é satisfeita quando a
função G =
2 du
dξ
+ αcos(u) obedece a equação de Euler-Lagrange: