Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

Capítulo 4
A Bifurcação de Hopf
4.1 Primeiros Exemplos de Bifurcação de Hopf
Nesta seção, introduzimos o fenômeno da Bifurcação de Hopf e apresen-
tamos alguns exemplos. Consideremos um sistema autônomo de EDO’s dado
por
du
dt
+ F (u, λ) = 0, (4.1)
onde F : R n × R −→ R n é C ∞ e λ é o parâmetro de bifurcação. Suponhamos
que
F (0, λ) ≡ 0;
então u = 0 é uma solução constante para (4.1) para qualquer valor de λ.
Hopf mostrou que existe uma família a um-parâmetro de soluções periódicas
para (4.1) “nascendo”de (u, λ) = (0, 0), se duas hipóteses sobre F são satis-
feitas. Seja A(λ) = (dF )0,λ a derivada de F em relação à variável u, no ponto
(u, λ) = (0, λ). A primeira hipótese de Hopf é:
Observações:
A(0) tem autovalores simples ± i, e
A(0) não tem outros autovalores sobre o eixo imaginário.
(4.2)
(i) Notemos que se “rescalamos”o tempo t em (4.1) por t = γs para um