Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A REDUÇÃO DE LIAPUNOV-SCHMIDT 22
(ii) Quando L é um operador diferenciável elíptico, temos que a codimensão
da Im(L) é igual a dimensão do Nuc(L ∗ ). Assim para tais operadores
temos uma fórmula alternativa do índice:
i(L) = dim Nuc(L) − dim Nuc(L ∗ ).
2.2 Mecanismo da Redução de Liapunov-Schmidt
Seja Φ : X × R k+1 → Y, com Φ(0, 0) = 0 uma aplicação C ∞ entre espaços
de Hilbert. Queremos usar a Redução de Liapunov-Schmidt para resolver a
equação
Φ(u, α) = 0, (2.4)
para u como função de α, numa vizinhança da origem. A derivada de Φ, na
origem, aplicada em um vetor u, é dada por
Lu = lim
h→0
Φ(hu, 0) − Φ(0, 0)
.
h
De agora por diante, vamos assumir que L é Fredholm de índice zero.
Relembramos agora os 5 passos principais da Redução de Liapunov-Schmidt.
1. Decompor os espaços X e Y,
(a) X = Nuc(L) ⊕ M, (b) Y = N ⊕ Im(L). (2.5)
2. Dividir o problema (2.4) no par de equações equivalentes,
(a) EΦ(u, α) = 0, (b) (I − E)Φ(u, α) = 0, (2.6)
onde E : Y → Im(L) é a projeção associada a decomposição (2.5b).
3. Usar (2.5a) para escrever u = v + w, onde v ∈ Nuc(L) e w ∈ M. Aplicar
agora o Teorema da Função Implícita para resolver (2.6a) obtendo w em