Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

Apêndice A
Algumas Propriedades dos
Operadores Diferenciais
Elípticos Lineares.
Seja L um operador diferencial parcial linear de segunda ordem sobre o R n ,
dado por
Lu =
n
i,j=1
aij(ξ) ∂2 u
∂ξi∂ξj
+
n
j=1
bj(ξ) ∂u
∂ξj
+ c(ξ)u (A.1)
onde ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ R n . Suponhamos que aij(ξ) é uma matriz simétrica,
isto é, aij(ξ) = aji(ξ). Deste modo, dizemos que L é elíptico se para todo
ξ ∈ R n a matriz aij(ξ) é positiva definida, isto é, x t {aij(ξ)}x ≥ 0 para todo
x ∈ R n . Se L tem a forma
onde
Lu = ∆u +
n
j=1
∆u =
bj(ξ) ∂u
∂ξj
n
i=1
∂ 2 u
∂ξ 2 i
+ c(ξ)u (A.2)
é o Laplaciano, então L é elíptico. Vamos nos restringir a operadores da forma
(A.2) e assumimos que bi(ξ), c(ξ) são funções diferenciáveis sobre ξ.
Proposição A.1. Seja Ω ⊂ R n um domínio limitado com fronteira ∂Ω dife-