Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 72
Uma vez que
v1(s) = Re(c)cos(s) − Im(c)sen(s) e v2(s) = Im(c)cos(s) + Re(c)sen(s),
segue que
dv1
ds = −[Im(c)cos(s) + Re(c)sen(s)] = −v2. (4.53)
Substituímos então (4.53) em (4.52) e usamos (4.39b) para provarmos (4.47c,d).
Em nosso caso particular, temos as seguintes fórmulas:
(a) dv1
ds
= −v2,
(b) dv∗ 1
ds = −v∗ 2,
(c) dv2
ds
= v1,
(d) dv∗ 2
ds = v∗ 1.
O caso (a) já foi feito, e os demais casos são de verificação análoga.
Demonstração do teorema 4.5: Agora que estamos com todas as ferra-
mentas necessárias para a demonstração, observe que, da forma explícita de φ
em (4.46), temos que φ = 0 se, e somente se, são válidas as seguintes relações:
De fato,
px − qy = 0
py + qx = 0
⇐⇒
(a) x = y = 0, (4.54)
(b) p = q = 0. (4.55)
⇐⇒ (px − qy) + i(py + qx) = 0 ⇐⇒
p − iq = 0
x + iy = 0 ⇐⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x = y = 0
ou
p = q = 0
As soluções de (4.54) correspondem a solução constante trivial u = 0, já as
soluções de (4.55) correspondem as soluções 2π-periódicas do sistema (4.16).
.