Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 56
O fato de u e w serem 2π-periódicas, implica que (∗) = 0. Notemos
também que para todo u, w temos
〈A0u, w〉 = 1
2π
A0u(s)
2π 0
t
.w(s)ds = 1
2π
2π
0
(A0u(s)) t .w(s)ds
= 1
2π
u(s)
2π 0
t
2π
t 1
A0 .w(s)ds = u(s)
2π 0
t
[A t 0w(s)]ds = 〈u, A t 0w〉.
Substituindo a equação anterior e (4.33) em (4.32), segue que
〈Lu, w〉 = −〈u, w ′ 〉 + 〈u, A t 0w〉 = 〈u, −w ′ + A t 0w〉 = 〈u, L ∗ w〉.
Portanto, L ∗ w = − dw
ds + At 0w é o operador adjunto de L.
Afirmação 2: Considerando funções somente de valores reais, temos
que A0 e A t 0 possuem os mesmos autovalores.
De fato, seja λ autovalor de A0, tal que A0u = λu. Temos que
Por um lado,
〈Lu, w〉 = 〈u ′ + A0u, w〉
〈Lu, w〉 = 〈u, L ∗ w〉. (4.34)
= 〈u ′ , w〉 + 〈λu, w〉 = 〈u ′ , w〉 + 〈u, λw〉,
e por outro lado, usando (4.31), segue que
Portanto A t 0w = λw.
〈u, L ∗ w〉 = 〈u, −w ′ 〉 + 〈u, A t 0w〉
= 〈u ′ , w〉 + 〈u, A t 0w〉.
A conclusão que tiramos dessa afirmação 2 é que se A0 satisfaz a hipótese
(4.2), então A t 0 também satisfaz.
Seja d um vetor, não-nulo, pertencente a C n satisfazendo
A t 0d = id, (4.35)