Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 53
então, a ação de S 1 sobre Nuc(L) é dada por
θ
x
y
=
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
x
y
. (4.23)
Em outras palavras, θ age sobre R 2 por uma rotação anti-horária de um
ângulo θ.
(c) Existe uma decomposição invariante de C2π dada por
C2π = Im(L) ⊕ Nuc(L). (4.24)
Essa decomposição induz uma decomposição de C 1 2π
onde M = (Im(L)) ∩ C 1 2π.
Demonstração do Lema 4.6
C 1 2π = Nuc(L) ⊕ M, (4.25)
(a) Consideremos o sistema linear de EDO’s com coeficientes constantes
Lu = 0, u ∈ C 1 2π,
onde L = d
+ A0.
ds
Sabe-se que os autovalores (pela hipótese (4.2)) são ±i, α3, α4, . . . , αn
onde os αj não estão no eixo imaginário, para todo j = 3, 4, . . . , n.
Isso implica, usando a teoria de EDO’s lineares, que existe uma base
de soluções {u1(s), u2(s), . . . , un(s)} tal que u1(s) e u2(s) (associados aos
autovalores ±i) são 2π-periódicos e os outros não são 2π-periódicos devi-
do a hipótese (4.2). Observemos que se (α + iβ) é autovalor e (u1 + iu2)
é seu autovetor correspondente, temos que
e (α+iβ)s (u1 + iu2) = [e αs cos(βs) + ie αs sen(βs)](u1 + iu2)
= e αs cos(βs).u1 − e αs sen(βs).u2 + i[e αs cos(βs).u2 + e αs sen(βs).u1]
= e αs [cos(βs).u1 − sen(βs).u2] +i e
αs [cos(βs).u2 + sen(βs).u1]
v1
v2
(4.26)