Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A ELÁSTICA: UM EXEMPLO DE DIMENSÃO INFINITA 35
para o problema dado em (3.15) é dada por
r 2 + λ = 0,
a qual possui soluções r = ±i √ λ, e portanto uma solução geral é dada por
v(t) = Acos( √ λt) + Bsen( √ λt).
Utilizando a condição de contorno v ′ (0) = 0 temos que B = 0. Nesse caso,
v ′ (t) = −A √ λsen( √ λt).
Avaliando em π temos que se √ λ não for inteiro, então A = 0. A conclusão é
que se λ é da forma µ = k 2 , com k ∈ N, então o problema (3.15) tem solução
diferente da trivial. Caso contrário, a única solução do problema (3.15) é a
trivial e a derivada de Φ no ponto (0, λ) é invertível.
Então o Nuc(DuΦ(0, λ)) tem dimensão igual a 1 quando λ = k 2 para algum
k ∈ N e dimensão igual a 0, caso contrário. Mas como nesta seção estamos
considerando o caso 0 < λ < 1, segue que dim Nuc(DuΦ(0, λ)) = 0.
Portanto, pelo Teorema da Função Implícita, u = 0 é solução única de
(3.11) numa vizinhança da origem para 0 < λ < 1.
3.3 Entendendo a Redução para λ = 1
Nessa seção, com o auxílio da Redução de Liapunov-Schmidt, estudaremos
a multiplicidade das soluções de (3.11) numa vizinhança de u = 0, λ = 1.
Vamos tomar L = DuΦ(0, 1). Notemos que dim Nuc(L) = 1, em que uma base
para o núcleo é {cos ξ}.
Decompomos o domínio de Φ na soma direta dos seguintes subespaços
X = R{cos} ⊕ M, (3.16)
onde R{cos} denota o espaço vetorial sobre os números reais, gerado pela
função cosseno, e M = {u ∈ X : π
cos(ξ)u(ξ)dξ = 0}; em outras palavras, M
0