Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 48
4.2 Encontrando soluções periódicas através
da Redução de Liapunov-Schmidt
Seja F : R n × R k+1 −→ R n , e consideremos a equação
du
dt
+ F (u, α) = 0 (4.14)
onde α = (α0, α1, . . . , αk) é um conjunto de parâmetros sendo λ = α0 um
parâmetro distinguido e os demais k parâmetros sendo parâmetros auxiliares.
Em toda seção, vamos supor que
e que A(α) = (dF )0,α satisfaça as hipóteses (4.2).
F (0, α) ≡ 0, (4.15)
Essa seção será dividida em duas subseções, são elas:
4.2.1 Definição do operador Φ,
4.2.2 Enunciado e prova do teorema principal da seção 4.2.
4.2.1 A definição do Operador Φ
Nosso objetivo é definir um operador Φ com a propriedade que as soluções
de Φ = 0 correspondem as soluções 2π-periódicas de (4.14).
De qualquer modo, existe um problema técnico no espaço das funções
periódicas. A soma de duas funções com períodos distintos pode não ser
periódica. No entanto, é possível superar esse problema introduzindo um
parâmetro extra τ, correspondente a uma rescala do tempo. Especificamente,
seja
Assim, como
e
dt
ds
s = (1 + τ)t.
du
ds
= 1
1 + τ
du dt
=
dt ds
(t = s
1 + τ ),