Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A ELÁSTICA: UM EXEMPLO DE DIMENSÃO INFINITA 31
3.1 Descrição do Problema
u( )
Figura 3.1: Elástica.
A configuração da barra, assumida planar, é melhor descrita se utilizarmos
u(ξ) como sendo o ângulo que a barra faz com o eixo horizontal, no ponto
do arco de tamanho ξ, veja a figura 3.1. Vamos normalizar a barra para ter
tamanho π.
As coordenadas (x(ξ), y(ξ)) são dadas por
x(ξ) =
ξ
cos u(ξ
0
′ )dξ ′ ξ
; y(ξ) = sen u(ξ
0
′ )dξ ′ .
De fato, observe que x(ξ) é dado pela expressão
x(ξ) = lim
n → ∞
|∆ξ i| → 0
n
∆xi,
conforme a figura 3.2. Chamando ∆ξi = ξi − ξi−1 temos
i=1
cos(u(ξi)) = ∆xi
, (3.1)
∆ξi
pois para ∆ξi suficientemente pequeno, a hipotenusa do triângulo destacado
na figura 3.2 aproxima-se do tamanho do arco ∆ξi.
Dai,
x(ξ) = lim
n → ∞
|∆ξ i| → 0
n
cos(u(ξi))∆ξi =
i=1
De modo análogo temos que
y(ξ) =
ξ
cos(u(ξ
0
′ ))dξ ′ . (3.2)
ξ
sen(u(ξ
0
′ ))dξ ′ . (3.3)