Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

PRIMEIRA VISÃO DA REDUÇÃO DE LIAPUNOV-SCHMIDT 16
com Nuc(E) = N. Consideremos também a projeção complementar
com Nuc(I − E) = Im(L).
(I − E) : R n −→ N
Proposição 1.1. Dado v ∈ R n temos que v = 0 se, e somente se, Ev = 0 e
(I − E)v = 0.
Demonstração:
A implicação é trivial. Vejamos a recíproca. Seja
v ∈ (Nuc(E) Nuc(I − E)). Como as projeções E e I − E são projeções
complementares, temos que (Nuc(E) Nuc(I − E)) = {0}, ou seja, v = 0.
De acordo com a proposição 1.1, o sistema de equações (1.1) pode ser
expandido para um equivalente par de equações da forma
(a)EΦ(y, α) = 0, (b)(I − E)Φ(y, α) = 0. (1.6)
A idéia básica da Redução de Liapunov-Schmidt é que (1.6a) pode ser
resolvido para n − 1 das y variáveis, e substituindo esses n − 1 valores em
(1.6b) encontramos o restante desconhecido. Vamos explicar melhor essa idéia.
Primeiro aplicamos o Teorema da Função Implícita para mostrarmos que (1.6a)
pode ser resolvido para n − 1 das y variáveis. Utilizando a decomposição (1.4)
podemos escrever qualquer vetor y ∈ R n da forma y = v +w, onde v ∈ Nuc(L)
e w ∈ M. Escrevemos então a equação (1.6a) como
EΦ(v + w, α) = 0. (1.7)
Em outras palavras, estamos pensando em (1.7) como uma aplicação
F : Nuc(L) × M × R k+1 −→ Im(L) dada por
F (v, w, α) = EΦ(v + w, α).
Proposição 1.2. Existe uma vizinhança Ω ⊂ Nuc(L) × R k+1 do ponto (0, 0)
e uma aplicação W : Ω −→ M, a qual satisfaz
para todo (v, α) ∈ Ω e W (0, 0) = 0.
EΦ(v + W (v, α), α) ≡ 0