Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A ELÁSTICA: UM EXEMPLO DE DIMENSÃO INFINITA 40
dada por
g(x, λ) = a00 + a10x +a01(λ − 1)+a20x 2 + a11x(λ −1)+a02(λ −1) 2 + a30x 3 + . . .
Observemos que
g(0, 1) = a00,
∂g
(0, 1) = a10,
∂x
∂g
∂λ (0, 1) = a01, ∂3g ∂x3 (0, 1) = 6a30 e
Usando o fato que
temos que
g = ∂g
∂x = ∂2g ∂g
= = 0,
∂x2 ∂λ
∂3g 3π
=
∂x3 8
a00 = 0, a10 = 0, a20 = 0,
a01 = 0, a30 = π
16
Deste modo, g assume a forma
Concluímos então que
∂2g (0, 1) = 2a20,
∂x2 ∂2g (0, 1) = a11.
∂λ∂x
e
e a11 = − π
2 .
∂ 2 g
∂λ∂x
= −π
2 ,
(3.27)
g(x, λ) = − π
π
x(λ − 1) +
2 16 x3 + . . . (3.28)
g(x, λ) = 0 ⇐⇒ π
2 x[−(λ−1)+x2
⎧
⎨
+. . .] = 0 ⇐⇒
8 ⎩
−(λ − 1) + x2
8
x = 0
+ . . . = 0.
A primeira equação do sistema acima corresponde a solução trivial. Para
descrever a soluções dadas pela segunda equação do sistema acima vamos
tomar µ = λ − 1 e definir f(x, µ) = −µ + x2
+ . . ..
8
Calculando a derivada parcial de f em relação a µ e aplicando no ponto
(0, 0), temos
∂f
(0, 0) = −1 (3.29)
∂µ
Logo, pelo Teorema da Função Implícita, segue que numa vizinhança V