Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 73
A última é não-constante se z = x 2 + y 2 > 0. Com objetivo de eliminar a
redundância das soluções de (4.55) associada a ação do S 1 vamos assumir que
y = 0 e x ≥ 0. Depois dessa simplificação, as expressões (4.54) e (4.55) ficam
com a seguinte forma.
(a) x = 0,
(b) p(x 2 , α, τ) = q(x 2 , α, τ) = 0.
Agora queremos que numa vizinhança da origem a equação
q(x 2 , α, τ) = 0 (4.56)
possa ser resolvida para τ = τ(x 2 , α). De fato, (4.47b,d) nos permite aplicar o
Teorema da Função Implícita. Definamos então
Então a equação
r(z, α) = p(z, α, τ(z, α)), g(x, α) = r(x 2 , α)x. (4.57)
φ(x, y, α, τ) = 0 (4.58)
tem solução com x 2 + y 2 > 0 se, e somente se, r(x 2 + y 2 , α) = 0 possui solução.
Além disso, toda solução de (4.58) pode ser obtida das soluções de
g(x, α) = 0,
com x ≥ 0, por uma rotação apropriada.
Concluindo, as soluções de (4.58) estão em correspondência biunívoca com
soluções de (4.14), finalizando assim a demonstração do teorema 4.5.
4.3 Existência e unicidade das soluções
Nessa seção vamos usar a Redução feita para discutir soluções periódicas
do sistema de EDO’s,
du
dt
+ F (u, α) = 0 (4.59)
onde α = (α0, α1, . . . , αk) é um conjunto de parâmetros sendo λ = α0 um
parâmetro distinguido e os demais k parâmetros sendo parâmetros auxiliares.