Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 49
segue que
isto é,
du
ds
du
dt
= du
dt
1
1 + τ ,
= (1 + τ)du
ds .
Deste modo, podemos reescrever (4.14) da seguinte forma:
(1 + τ) du
+ F (u, α) = 0, (4.16)
ds
uma vez que F (u, α) não depende explicitamente de s.
Notemos que soluções 2π-periódicas para (4.16) correspondem as soluções
2π -periódicas para (4.14). As soluções periódicas de pequena amplitude de
1+τ
(4.14) têm período próximo de 2π, assim temos que τ ≈ 0.
Seja C2π o espaço de Banach das funções f : R → R n , contínuas e 2π-
periódicas, onde a norma é definida por
u = max |u(s)|;
s
Notemos que existe max|u(s)|
pois u é contínua e periódica.
s
Seja C1 2π o espaço de Banach das aplicações 2π-periódicas com derivadas
de primeira ordem contínuas. Neste espaço é definido a seguinte norma:
u1 = u +
du
ds .
Observamos aqui que se considerarmos o produto interno
temos que C 0 2π e C 1 2π são espaços de Hilbert.
onde
Definimos então
〈u, v〉 = 1
2π
v(s)
2π 0
t u(s)ds. (4.17)
Φ : C 1 2π × R k+1 × R −→ C2π
(4.18)
Φ(u, α, τ) = (1 + τ) du
+ F (u, α) (4.19)
ds
Deste modo, soluções para a equação Φ(u, α, τ) = 0 estão em correspondência
com as soluções 2π-periódicas de (4.16) e por conseqüência com as soluções 2π-