Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 47
Substituindo então (4.7) em (4.9) chegamos em
˙r = cos(θ)[−λrcos(θ)+rsen(θ)+r 3 cos(θ)]+sen(θ)[−rcos(θ)−λrsen(θ)+r 3 sen(θ)],
ou seja,
˙r = r 3 − λr = r(r 2 − λ). (4.11)
Analogamente, substituindo (4.7) em (4.10), temos
r ˙ θ = −sen(θ)[−λrcos(θ)+rsen(θ)+r 3 cos(θ)]+cos(θ)[−rcos(θ)−λrsen(θ)+r 3 sen(θ)],
ou seja,
Logo, de (4.11) e (4.12) chegamos no sistema
r ˙ θ = −r =⇒ ˙ θ = −1. (4.12)
˙r = r(r 2 − λ)
˙θ = −1
O retrato de fase desse sistema é dado pela figura 4.3.
< 0
= 0
Figura 4.3: Bifurcação de Hopf.
. (4.13)
> 0
O fenômeno que ocorre neste exemplo é que para cada λ > 0 existe exata-
mente uma solução periódica de (4.6). Além do mais, essa solução periódica
é estável, no sentido que toda órbita que está numa vizinhança da solução
é atraída para a solução periódica. Tal solução periódica é dita ciclo limite
estável. Em outras palavras, existe uma troca de estabilidade da solução cons-
tante u = 0, quando λ muda de sinal, com o surgimento de uma nova solução
periódica.