Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 44
Um primeiro exemplo elementar e instrutivo desse teorema é o exemplo
linear no plano definido por
F (u, λ) = −
λ −1
1 λ
Calculando os autovalores da matriz A(λ), temos
λ − µ −1
1 λ − µ
= 0
u. (4.5)
que nos leva em (λ − µ) 2 = −1, assim os autovalores são µ1 = λ + i e
µ2 = λ − i.
Calculemos agora o autovetor associado ao autovalor µ1 = λ+i. A equação
matricial
i 1
−1 i
conduz ao sistema equivalente
k1
k2
=
ik1+ k2 = 0
−k1+ ik2 = 0 .
Da primeira equação temos k2 = −ik1 (a segunda é simplesmente i vezes a
primeira). Escolhendo k1 = 1, concluímos então que um autovetor é
K1 =
1
−i
=
Analogamente, para µ2 = λ − i, encontramos o outro autovetor
K2 =
−i
1
=
Conseqüentemente, utilizando a teoria de EDO’s lineares, duas soluções para
(4.5) são dadas por
X1(t) =
1
0
cos(t) −
1
0
0
1
+ i
+ i
0
−1
0
0
0
−1
−1
0
sen(t)
.
.
e λt e