Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 46
Figura 4.2: Diagrama de Bifurcação do Hopf Linear.
ordem superior em F , veremos que para cada λ fixo existe no máximo uma
órbita periódica permanecendo numa vizinhança da origem.
Por exemplo, considere o sistema definido por
F (u, λ) = −
λ −1
1 λ
Tomando u = (u1, u2) temos o seguinte sistema para resolver
˙u1 = −λu1 + u2 + u1(u 2 1 + u 2 2)
˙u2 = −u1 − λu2 + u2(u 2 1 + u 2 2)
u + |u| 2 u. (4.6)
. (4.7)
Fazendo a mudança de coordenadas u1 = rcos(θ) e u2 = rsen(θ) o sistema
(4.7) assume a forma
˙u1 = ˙rcos(θ) − r ˙ θsen(θ)
˙u2 = ˙rsen(θ) + r ˙ θcos(θ)
. (4.8)
Multiplicando a primeira equação por (cos(θ)) e a segunda equação por (sen(θ))
e somando-as, temos
˙r = ˙u1cos(θ) + ˙u2sen(θ) (4.9)
Multiplicando agora a primeira equação por (−sen(θ)) e a segunda equação
por (cos(θ)) e somando-as novamente obtemos
r ˙ θ = − ˙u1sen(θ) + ˙u2cos(θ). (4.10)