Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

PRIMEIRA VISÃO DA REDUÇÃO DE LIAPUNOV-SCHMIDT 17
Demonstração:
Pela Regra da Cadeia, a derivada de (1.7) com respeito a variável w na
origem é
(E(DyΦ)(0, 0))|M = (EL)|M = L|M.
A primeira igualdade segue por definição e a segunda do fato que E age como
identidade sobre Im(L). De qualquer modo, a aplicação linear L : M −→
Im(L) é invertível. Assim, segue do Teorema da Função Implícita que (1.6a)
tem solução única para w numa vizinhança Ω ⊂ Nuc(L) × R k+1 da origem.
Vamos escrever essa solução como w = W (v, α); sendo W : Ω −→ M a qual
satisfaz
EΦ(v + W (v, α), α) ≡ 0
para todo (v, α) ∈ Ω e W (0, 0) = 0.
Substituímos W em (1.6b) e obtemos a aplicação reduzida
φ : Nuc(L) × R k+1 −→ N onde
φ(v, α) = (I − E)Φ(v + W (v, α), α). (1.8)
Deste modo, os zeros de φ(v, α) estão em correspondência biunívoca com
os zeros de Φ(y, α), tal correspondência é dada por
φ(v, α) = 0 ⇐⇒ Φ(v + W (v, α), α) = 0.
A função reduzida φ tem todas as informações necessárias da Redução de
Liapunov-Schmidt. Em aplicações como esta, é interessante escolher coorde-
nadas explícitas no Nuc(L) e em N, e desse modo obtém-se uma aplicação
reduzida g : R × R k+1 −→ R. Nesse momento fica claro a segunda dentre as
duas escolhas que mencionamos no início desta subseção. Além da escolha dos
complementos M e N em (1.4) e em (1.5), devemos escolher também vetores
não nulos v0 e v ∗ 0 em Nuc(L) e (Im(L)) ⊥ , respectivamente. Aqui o complemento
ortogonal é tomado com respeito ao produto interno usual
〈y, z〉 =
n
yizi.
i=1
Assim, qualquer vetor v ∈ Nuc(L) pode ser escrito de maneira única como
v = xv0 onde x ∈ R. Definimos g : R × R k+1 −→ R por