Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 75
Aplicando a regra da cadeia vem
∂r
∂λ
(z, λ) = ∂p
∂λ
e em (z, λ) = (0, 0) temos
∂p
(z, λ, τ(z, λ)) + (z, λ, τ(z, λ))∂τ (z, λ),
∂τ ∂λ
∂r ∂p
(0, 0) = (0, 0, 0),
∂λ ∂λ
pois o lema 4.8 garante que ∂p
(0, 0, 0) = 0.
∂τ
De (4.50) e (4.49) temos que
onde φ1(x, y, λ, τ) = 〈v ∗ 1, φ(xv1 + yv2, λ, τ)〉.
Derivando (4.63) em relação a x obtemos
φ1(x, 0, λ, τ) = p(x 2 , λ, τ)x (4.63)
∂φ1
∂p
(x, y, λ, τ) =
∂x ∂x (x2 , λ, τ)2x 2 + p(x 2 , λ, τ),
e derivando novamente em relação a λ agora e substituindo em
(x, y, λ, τ) = (0, 0, 0, 0) temos
∂r ∂p
(0, 0) =
∂λ ∂λ (0, 0, 0) = ∂2φ1 (0, 0, 0, 0).
∂λ∂x
E pela proposição 2.7 da página 24 temos que
∂ 2 φ1
∂λ∂x = 〈v∗ 1, d(Φλ).v1 − d 2 Φ(v1, L −1 EΦλ)〉. (4.64)
O operador Φ é definido por (4.19), e derivando em relação a λ obtemos
e em particular temos que
Φλ(u, λ, τ) = ∂F
(u, λ),
∂λ
Φλ(0, λ, τ) = 0, d(Φλ)v1 = Aλ(0)v1.