Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 66
De fato, da alternativa de Fredholm, segue que
Im(L) = (Nuc(L ∗ )) ⊥ . (4.42)
Suponha v ∈ Im(L) ∩ Nuc(L). Se v ∈ Nuc(L), então, pelo item (a) do
Lema 4.6, temos que v = xv1 + yv2. Por outro lado, se v ∈ Im(L), por
(4.42) temos 〈v, v ∗ j 〉 = 0. Daí, por (4.39b) concluímos que
e a afirmação 4 está demonstrada.
x = y = 0,
Afirmação 5: Seja W ⊂ C2π subespaço tal que
(a) Im(L) ⊕ W = C2π
(b) dim W = dim Nuc(L) = 2
(c) Im(L) ∩ Nuc(L) = {0}
Então,
Im(L) ⊕ Nuc(L) = C2π.
De fato, seja {v1, v2} uma base do Nuc(L). Como v1, v2 ∈ C2π, utilizando
o item (a), temos que existem w1, w2 ∈ W tais que
Sejam a, b ∈ R tais que
v1 = L(u1) + w1
v2 = L(u2) + w2.
(4.43)
aw1 + aw2 = 0. (4.44)
Multiplicando a primeira linha de (4.43) por a, a segunda linha por b e
somando-as obtemos av1 + bv2 = aL(u1) + bL(u2) + aw1 + bw2. Usando
(4.44) e o fato que L é linear, segue que
av1 + bv2 = L(au1 + bu2).
Como Im(L) ∩ Nuc(L) = {0}, segue que av1 + bv2 = 0, o que nos diz que
a = b = 0. Portanto, {w1, w2} é base de W .