Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 58
(v) 2cos 2 x = 1 + cos(2x).
Além disso, vamos tomar c = c1 + ic2, lembrando que c1 e c2 são vetores
em C n . Desse modo, usando (4.27) segue que
c t 1c1 + c t 2c2 = 2
c t 1c2 − c t 2c1 = 0
Para o item (a) temos:
〈v ∗ 1, v ∗ 1〉 = 1
2π
= 1
2π
2π
0
2π
0
(d t 1cos(s) − d t 2sen(s))(d1cos(s) − d2sen(s))ds
[d t 1d1cos 2 (s) − d t 1d2cos(s)sen(s)
− d t 2d1cos(s)sen(s) + d t 2d2sen 2 (s)]ds
= 1
2π
1 + cos(2s)
d
2π 0 2
t 1d1 − (d t 1d2 + d t 2d1)cos(s)sen(s)
+d t
1 − cos(2s)
2d2
ds
2
= 1
2π t d1d1 2π 0
+ dt 2d2
2 + dt 1d1
2 − dt cos(2s)
2d2
2
= 1
t 2π
d1d1 2π 2
2π
0
sen(2s)
2
cos(2s)
2
ds
ds + d t 1d1
2π
+ d t 2d1)
ds +
0
dt2d2 2
− d t 2π
cos(2s)
2d2
ds
0 2
= 1
t d1d1 2π 2 s|2π 0 + dt2d2 2 s|2π
+ (d t 1d2 + d t 2d1) cos(2s)
|
4
2π
0
= 1
2 [dt 1d1 + d t 2d2] = dt d
2 .
0
− (d t 1d2 + d t 2d1) sen(2s)
2
cos(2s)
2
2π
0
0 + d t 1d1
ds
ds − (d t 1d2
sen(2s)
|
4
2π
0 − d t sen(2s)
2d2 |
4
2π
0