Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A REDUÇÃO DE LIAPUNOV-SCHMIDT 24
No passo 5, escrevemos (Im(L)) ⊥ , lembrando que Y está munido com pro-
duto interno (2.1). Como, L é Fredholm com índice zero, temos que
dim Nuc(L) = dim(Im(L)) ⊥
e ambas dimensões são finitas. Assim, as bases para Nuc(L) e (Im(L)) ⊥ pos-
suem o mesmo número de vetores. Vamos resumir o resultado da Redução de
Liapunov-Schmidt no seguinte teorema.
Teorema 2.6. Se a derivada de Φ(u, α) é um operador de Fredholm de índice
zero, então as soluções de (2.4) estão (localmente) em correspondência biunívoca
com as soluções do sistema em dimensão finita.
onde gi é definido por (2.9).
gi(x, α) = 0, i = 1, . . . , n. (2.11)
2.3 Os cálculos das derivadas de g
Para aplicações da Redução de Liapunov-Schmidt muitas vezes é necessário
conhecer as derivadas da função g da seção anterior. Nesta seção vamos supor
que W e gi, com i = 1, . . . , n, sejam suficientemente diferenciáveis e calculemos
as seguintes derivadas:
Proposição 2.7. (a) DvW (0, 0) = 0
(b) D 2 vW (0, 0) = −L −1 ED 2 xΦ(0, 0)
(c) ∂gi
(0, 0) = 0.
∂xj
(d)
(e)
∂ 2 gi
∂xk∂xj
∂ 3 gi
∂xl∂xk∂xj
(0, 0) = 〈v ∗ i , D 2 xΦ(0, 0)(vk, vj)〉.
(0, 0) = 〈v ∗ i , V 〉,
onde V = D 3 xΦ(0, 0)(vl, vk, vj) + D 2 xΦ(0, 0)(Wkl, vj), + D 2 xΦ(0, 0)(vk, Wlj) +
+ D 2 xΦ(0, 0)(vl, Wjk).