Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

PRIMEIRA VISÃO DA REDUÇÃO DE LIAPUNOV-SCHMIDT 18
g(x, α) = 〈v ∗ 0, φ(xv0, α)〉. (1.9)
Do fato de φ(xv0, α) ∈ N, temos que
g(x, α) = 0 se, e somente se, φ(xv0, α) = 0, pois φ(xv0, α) ∈ [N ∩ N ⊥ ] = {0}.
Logo, os zeros de g estão em correspondência biunívoca com as soluções de
Φ(y, α) = 0.
A razão para essa simplificação é que v ∗ 0 ∈ (Im(L)) ⊥ e para qualquer vetor
v ∈ R n , temos que Ev ∈ Im(L), ou seja 〈v ∗ 0, Ev〉 = 0.
Daí temos
〈v ∗ 0, (I − E)v〉 = 〈v ∗ 0, v〉 (1.10)
pois (I − E)v ∈ (Im(L)) ⊥ , pela definição da projeção (I − E).
1.2 Breve Resumo da Redução de Liapunov-
Schmidt
Nesta subseção vamos citar, brevemente, os cinco passos essenciais para
chegarmos na equação reduzida (1.9):
Passo 1. Decompomos o espaço, no caso o R n , em uma soma direta dependendo
de L(eq.(1.4) e eq.(1.5)).
Passo 2. Usamos tal decomposição para definirmos as projeções E e (I−E), donde
chegamos nas equações (1.6).
Passo 3. Mostramos que (1.6a) pode ser resolvida, exceto para uma variável, u-
sando o Teorema da Função Implícita.
Passo 4. Substituímos a solução de (1.6a) em (1.6b) para obtermos a equação (1.8).
Passo 5. Escolhemos bases convenientes para Nuc(L) e para (Im(L)) ⊥ e obtemos
a equação reduzida (1.9).
A essência da Redução de Liapunov-Schmidt, é mostrar que podemos usar
o Teorema da Função Implícita em situações onde sua aplicação não é direta,