Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 43
valor fixo de γ > 0, temos que
E como dt
ds
= γ, segue que
du
ds
du
ds
du dt
=
dt ds .
= γ du
dt .
Logo, a equação (4.1) assume a seguinte forma
du
+ γF (u, λ) = 0. (4.3)
ds
Com essa mudança, a matriz A(λ) fica multiplicada por γ. Dessa forma,
fica claro que a primeira hipótese de Hopf poderia ser enfraquecida im-
pondo apenas que A(0) possui um par de autovalores imaginários puros,
não-nulos. Uma simples normalização, como mostrada acima, conduziria
para uma nova matriz cujos autovalores seriam ±i.
(ii) Não haveria nenhuma dificuldade em provar que existem órbitas periódicas
para (4.1), mesmo se A(0) possuisse outros autovalores no eixo ima-
ginário, contanto que nenhum desses sejam múltiplos inteiros de ±i.
Por uma questão de simplicidade, ao longo do restante deste trabalho vamos
assumir esta hipótese. Portanto, temos que A(λ) possui autovalores simples
da forma σ(λ)±iω(λ), onde σ(0) = 0, ω(0) = 1, e σ e ω são diferenciáveis com
relação a λ. Essas considerações seguem do fato que A(λ) tem entradas reais,
as quais dependem diferenciavelmente de λ e ainda do fato que os autovalores
±i de A(0) são simples.
A segunda hipótese de Hopf é
σ ′ (0) = 0; (4.4)
isto é, os autovalores imaginários de A(λ) cruzam o eixo imaginário com ve-
locidade não nula, quando λ cruza o zero.
O teorema de Hopf afirma, como veremos adiante, que se as hipóteses (4.2)
e (4.4) são satisfeitas, então existe uma família a um-parâmetro de soluções
periódicas para (4.1).