Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A ELÁSTICA: UM EXEMPLO DE DIMENSÃO INFINITA 34
espaço das funções reais contínuas definidas no intervalo [0, π]. Naturalmente,
Φ(u, λ) = −u ′′ − λsen u. (3.12)
Observemos que Φ(0, λ) = 0 para todo λ, em outras palavras, a barra
flexível mantém-se em equilíbrio para quaisquer força λ. Para investigar a
possibilidade de soluções múltiplas vamos usar o Teorema da Função Implícita.
Começamos então analisando a derivada de Φ.
DuΦ(u, λ)v = lim
h→0
Φ(u + hv, λ) − Φ(u, λ)
. (3.13)
h
sen x
Como Φ(0, λ) = 0 e −→ 1 quando x −→ 0, temos que a derivada
x
de Φ no ponto (0, λ) é dada por:
Φ(hv, λ) − Φ(0, λ)
DuΦ(0, λ)v = lim
h→0 h
−(hv)
= lim
h→0
′′ − λsen (hv)
h
−hv
= lim
h→0
′′ − λsen (hv)
h
hv
= − lim
h→0
′′
h
λvsen (hv)
− lim
h→0 vh
= −v ′′ − λv. (3.14)
Lema 3.1. A derivada de Φ no ponto (0, λ) é invertível a menos que λ seja
da forma µ = k 2 , com k ∈ N.
Demonstração: Notemos que v ∈ Nuc(DΦ(0, λ)) se, e somente se, v
satisfaz o problema de Sturm-Liouville
v ′′ + λv = 0; v ′ (0) = v ′ (π) = 0. (3.15)
De acordo com a teoria de equações diferenciais, a equação característica