Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 54
Notemos que a última expressão será uma solução 2π-periódica se α = 0 e
β ∈ Z. Logo, somente os autovalores ±i induzem soluções 2π-periódicas.
Nesse momento, fica claro que se a hipótese de “não possuir outros au-
tovalores no eixo imaginário”poderia ser enfraquecida. Podemos aceitar
que existam outros autovalores no eixo imaginário, porém impedir que
sejam múltiplos de i. Nesse caso, também teríamos que somente duas
soluções seriam 2π-periódicas e teríamos os mesmos resultados.
Seja c ∈ C n satisfazendo
A0c = −ic, ¯c t .c = 2, (4.27)
isto é, c é o autovetor correspondente ao autovalor −i. O vetor linha ¯c t é
formado pela transposta do vetor c com entradas sendo os seus complexos
conjugados.
Então, tomando α = 0 e β = 1 na equação (4.26) segue que
v1(s) = Re(e is c), v2(s) = Im(e is c) (4.28)
formam uma base para Nuc(L). Em particular, dim Nuc(L) = 2.
(b) Consideremos a base para Nuc(L) formada pelos vetores v1 e v2 dados
em (4.28). Como
temos que
v1(s) = Re(e is c) = cos(s)Re(c) − sen(s)Im(c)
v2(s) = Im(e is c) = cos(s)Im(c) + sen(s)Re(c),
θv1(s) = v1(s − θ) = cos(s − θ)Re(c) − sen(s − θ)Im(c)
(4.29)
= [cos(s)cos(θ) + sen(s)sen(θ)]Re(c) − [sen(s)cos(θ) − sen(θ)cos(s)]Im(c)
= cos(θ)[cos(s)Re(c) − sen(s)Im(c) ] + sen(θ)[sen(s)Re(c) + cos(s)Im(c) ].
v1(s)
v2(s)