Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A REDUÇÃO DE LIAPUNOV-SCHMIDT 21
ou seja, L é sobrejetora com imagem de L igual ao contradomínio de L, sendo
portanto invertível. Assim, temos a seguinte implicação para operadores de
Fredholm de índice zero:
Se Nuc(L) = {0}, então L é invertível.
No contexto de operadores diferenciáveis, X e Y, em geral, são subespaços do
espaço de Hilbert L 2 (Ω), onde Ω é um domínio limitado no R n . Esse espaço
tem o produto interno usual
〈u, v〉 =
Ω
u(ξ)v(ξ)dξ. (2.1)
Discutiremos agora o uso do complemento ortogonal nos ítens (a) e (b) da
Proposição 2.3, isto é,
(a) M = (Nuc(L)) ⊥
(b) N = (Im(L)) ⊥
(2.2)
Em geral X e Y não são completos com respeito ao produto interno (2.1).
Por exemplo, X poderia ser C k (Ω) e Y ser C(Ω), isto é, o espaço das funções
de classe C k definidas em Ω e o espaço das funções contínuas definidas em Ω,
respectivamente. Desse modo, para um subespaço de dimensão infinita S ⊂ Y,
nem sempre é válido que Y = S ⊕ S ⊥ . Todavia, a decomposição Y = S ⊕ S ⊥
é válida nos seguintes casos especiais:
(a) S tem dimensão finita.
(b) S é imagem de um operador diferenciável elíptico.
Veja o apêndice A para uma discussão sobre operadores diferenciais elípticos.
No caso (a) usamos o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Para
o caso (b), de maneira resumida, a discussão gira em torno da alternativa
Fredholm,
onde L ∗ é a adjunta de L.
Observação 2.4.
(Im(L)) ⊥ = Nuc(L ∗ ) (2.3)
(i) A equação (2.3) fornece uma escolha particular para N no item (b) da
proposição 2.3 que geralmente é mais conveniente em aplicações.