Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

Capítulo 1
Primeira Visão da Redução de
Liapunov-Schmidt
Consideremos o sistema de n equações, não lineares,
Φi(y, α) = 0, i = 1, . . . , n. (1.1)
onde a aplicação Φ : R n × R k+1 −→ R n é C ∞ . Considere o vetor y =
(y1, . . . , yn) como a solução desconhecida para a equação (1.1) e α = (α0, . . . , αk)
um vetor de parâmetros. Vamos assumir que Φi(0, 0) = 0 e tentamos descrever
as soluções do sistema numa vizinhança da origem.
Seja (DyΦ)(0, 0) a
derivada, vista
como transformação linear, cuja matriz
∂Φi
é a matriz Jacobiana (0, 0) .
∂yj
Se o posto da matriz Jacobiana anterior, que coincide com a dimensão de
Im(DyΦ)(0, 0), é n, segue que (DyΦ)(0, 0) é uma transformação linear sobre-
jetora, e pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos que
ou seja,
dim R n = dim Nuc(DyΦ)(0, 0) + dim Im(DyΦ)(0, 0),
dim Nuc(DyΦ)(0, 0) = 0,
isto é, (DyΦ)(0, 0) é invertível. Deste modo, o Teorema da Função Implícita
nos diz que (1.1) possui solução única para y como função de α. Em outras
palavras, esse é um caso não degenerado onde não ocorre bifurcação. Nesta