Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 52
onde A0 é a matriz quadrada de ordem n (dF )0,0. De fato,
Φ(tu, 0, 0) − Φ(0, 0, 0)
DΦ0,0,0.u = lim
t→0 t
= lim
t→0
d(tu)
ds
+ F (tu, 0)
t
t
= lim
t→0
du
+ F (tu, 0)
ds
t
= du F (tu, 0)
+ lim
ds t→0 t
= du F (tu, 0) − F (0, 0)
+ lim
ds t→0
t
(dF )0,0.u
= du
+ A0u
ds
O operador L : C 1 2π → C2π, de acordo com o apêndice A, é Fredholm de
índice zero.
Teorema 4.5. Se o sistema (4.14) satisfaz a hipótese de autovalores simples
(4.2), então existe uma função diferenciável g(x, α), da forma
g(x, α) = r(x 2 , α)x, r(0, 0) = 0,
tal que as soluções locais de g(x, α) = 0, com x > 0, estão em correspondência
biunívoca com órbitas que são soluções 2π-periódicas de pequena amplitude
para o sistema (4.14).
Antes de demonstrarmos esse teorema, necessitamos de alguns Lemas.
Lema 4.6. Se (4.14) satisfaz as hipóteses de autovalores simples (4.2), então
(a) dim Nuc(L) = 2.
(b) Existe uma base {v1, v2} para Nuc(L) com a seguinte propriedade: Se
identificarmos Nuc(L) com R 2 pela aplicação
(x, y) ↦−→ xv1 + yv2, (4.22)