Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 68
pois ambos Im(L) e Nuc(L) são subespaços invariantes pela ação. Disso segue
que (I −E) também comuta com a ação θ. Seja agora W : Nuc(L)×R k+1 → M
a função definida em (2.7).
Assim,
Afirmação: A função W comuta com θ, isto é,
W (θv, α) = θW (v, α) ∀θ ∈ S 1 .
De fato, fixemos θ ∈ S 1 e definamos
Wθ(v, α) = θ −1 W (θv, α).
EΦ(v + Wθ(v, α)) = EΦ(θ −1 (θv + W (θv, α)))
= θ −1 EΦ(θv + W (θv, α)).
A última igualdade segue do fato que (2.7) vale para qualquer v, em particular
para θv.
Deste modo, Wθ também é solução da equação implícita (2.6a), sendo claro
que Wθ(0, 0) = 0. Pela unicidade da solução do Teorema da Função Implícita,
concluímos que
Com isso, temos que
Wθ(v, α) = W (v, α).
φ(θv, α, τ) = (I − E)Φ(θv + W (θv, α), α, τ)
= (I − E)Φ(θ(v + W (v, α), α, τ)
= θ(I − E)Φ(v + W (v, α), α, τ) = θφ(v, α, τ).
Lema 4.8. Assumindo as coordenadas de Nuc(L) em (4.22), a aplicação re-
duzida φ tem a seguinte forma:
φ(x, y, α, τ) = p(x 2 + y 2 , α, τ)
x
y
+ q(x 2 + y 2 , α, τ)
onde p e q são aplicações diferenciáveis satisfazendo
−y
x
, (4.46)