Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

PRIMEIRA VISÃO DA REDUÇÃO DE LIAPUNOV-SCHMIDT 15
seção consideremos o caso onde
posto(DyΦ)(0, 0) = n − 1. (1.2)
Vamos agora dividir essa seção em duas subseções:
(i) Na seção 1.1 mostraremos que se assumirmos (1.2), então as soluções do
sistema completo (1.1), localmente, poderão ser colocadas em correspon-
dência biunívoca com soluções de uma equação da forma
g(x, α) = 0, (1.3)
onde g : R × R k+1 −→ R. Esse procedimento é conhecido como Redução
de Liapunov–Schmidt de (1.1). Em outras palavras, (1.3) é uma família
a k-parâmetros de um problema de bifurcação da forma g(x, λ) = 0.
(ii) Resumiremos os passos essenciais da Redução na seção 1.2.
1.1 Derivação das Equações Reduzidas
Para simplificar a notação vamos chamar L = (DyΦ)(0, 0). São necessárias
duas escolhas arbitrárias para estabelecer a Redução de Liapunov-Schmidt. A
primeira delas diz que devemos escolher dois espaços vetoriais complementares
M e N para o Nuc(L) e Im(L), respectivamente, obtendo as seguintes decom-
posições:
e
R n = Nuc(L) ⊕ M, (1.4)
R n = N ⊕ Im(L). (1.5)
Notemos que, assumindo (1.2), e usando o Teorema do Núcleo e da Imagem,
temos que a dimensão de Nuc(L) é 1, e por (1.4) e (1.5), respectivamente,
concluímos que a dimensão de M é n − 1 e a dimensão de N é 1.
Consideremos agora a projeção
E : R n −→ Im(L)