Ricardo Nicasso Benito A Reduç˜ao de Liapunov-Schmidt ... - Unesp

A BIFURCAÇÃO DE HOPF 51
Definição 4.3. Definimos a ação de S 1 em C2π por θ : S 1 × C2π → C2π onde
Temos a seguinte proposição:
(θu)(s) = u(s − θ).
Proposição 4.4. O operador Φ comuta com a ação de grupo θ.
Demonstração: De fato,
Φ(θ.u, α, τ) = (1 + τ) d(θ.u)
+ F (θ.u, α)
ds
= (1 + τ) du
+ F (u, α) = θ.Φ(u, α, τ).
ds
uma vez que d(θ.u) du
= e F (θ.u, α) = F (u, α), pois F é autônomo, ou seja,
ds ds
não depende explicitamente de s.
4.2.2 Enunciado e prova do teorema principal da seção
4.2
Tendo caracterizado as soluções periódicas de (4.14) com as soluções da
equação
Φ(u, α, τ) = 0, (4.21)
resolveremos então (4.21) usando a Redução de Liapunov-Schmidt.
A derivada de Φ com respeito a u avaliada no ponto (u, α, τ) = (0, 0, 0) é
dada por
Lu = du
+ A0u,
ds